ガンマ分布

ガンマ分布 \( \mathrm{Ga}(\alpha, \beta) \) の基本情報

確率密度関数

$$ f(x) = \frac{ \beta^\alpha }{ \Gamma(\alpha) } x^{\alpha - 1} e^{- \beta x } \quad (x \gt 0)$$

ただし、

$$ \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-t} dt $$

はガンマ関数。

モーメント母関数

$$ M(t) = \left(\frac{ \beta }{\beta - t}\right)^\alpha \quad (0 \lt t \lt \beta) $$

平均、分散

$$ \mathrm{E}[X] = \frac{\alpha}{\beta},　\mathrm{Var}(X) = \frac{\alpha}{\beta^2} $$